Алгебра. 7 класс. Учебник (в 3-х частях). Часть 1 [Людмила Георгиевна Петерсон] (pdf) читать постранично, страница - 2

человека - пилота, а компьютерная имитация игры
в футбол проще реальной игры.
Процесс математического моделирования, как мы уже знаем, включает в себя
три этапа. Вспомним их.
I. Построение математической модели.
На данном этапе текст задачи переводится на математический язык. Для этого
определяется, что известно, что надо найти, устанавливаются взаимосвязи между
известными и неизвестными величинами, вводятся буквенные обозначения, состав­
ляются математические соотношения: уравнения и неравенства. При этом важно
выбрать буквенные обозначения таким образом, чтобы полученные соотношения
имели как можно более простой вид.
II. Работа с математической моделью.
В результате перевода практической задачи на математический язык могут воз­
никнуть два случая:
1) имеется математическая теория, позволяющая получить решение данной
задачи;
2) такой математической теории не существует.
В первом случае мы просто выбираем способ, позволяющий получить решение
задачи. Во втором случае мы должны создать новый или усовершенствовать некото­
рый старый способ таким образом, чтобы получить в итоге решение данной задачи (и
одновременно всех других подобных задач). При этом происходит развитие и самой
математической теории.
Математика может развиваться также, исходя лишь из
своей внутренней логики и красоты, опережая потребности
практики. Так, например, Евклид ещё до нашей эры заложил
основы теории делимости, а сегодня она широко используется
в задачах шифрования и дешифрования текстов.
III. Практический вывод.
Получив решение математической задачи, необходимо его
проанализировать, то есть разобраться в его реальном смысле, а
затем сделать выводы. В этом состоит третий этап математического моделирования.
Таким образом, математическое моделирование позволяет свести решение боль­
шого числа внешне различных практических задач к решению уравнений и нера­
венств. А это, в свою очередь, ведёт к развитию математической теории, в частности
к развитию теории уравнений и неравенств.
Но для начала нам надо научиться строить удобные математические модели,
приводящие к уравнениям, способ решения которых известен. И тогда следующий
шаг - применение знакомого алгоритма —не составит труда, являясь, как говорят,
«делом техники*.
Вспомним и уточним известный нам алгоритм решения задач методом матема­
тического моделирования. Для этого рассмотрим следующую задачу.
Задача. Мама купила Мише книги и диски. Вместе книг и дисков было 9. Из­
вестно, что количество купленных мамой книг при делении на 3 даёт остаток 1, а
количество купленных ею дисков при делении на 3 даёт остаток 2. Один из дисков
Миша подарил свой сестре. Сколько дисков у него осталось?
4

Глава 1, §1, п .1.1.1

Решение:
I. Построение математической модели.
Фиксируем, что известно и что надо найти.
Нам известно, что мама купила общим числом 9 книг и дисков. Количество книг
при делении на 3 даёт остаток 1, количество дисков при делении на 3 даёт остаток 2.
Один из дисков Миша подарил своей сестре.
Нужно найти, сколько дисков осталось у Миши.
Выбираем неизвестные величины, которые будем обозначать буквой.
Обозначим х - количество книг, а у - количество дисков, которые купила
мама.
Из условия задачи следует, что х e N и у e N.
Устанавливаем взаимосвязи между известными и неизвестными величинами.
Так как х при делении на 3 даёт остаток 1, то по формуле деления с остатком
х = За + 1 (а eN 0), где N 0 - множество натуральных чисел и 0.
Аналогично у = 36 + 2 (b еЛГ0).
Составляем уравнение.
По условию, сумма искомых чисел равна 9, значит, х + у = 9.
Все взаимосвязи, заданные в условии задачи, описаны полученными уравнениями.
Таким образом, мы получили математическую модель, состоящую из трёх урав­
нений и требований к переменным, входящим в эти уравнения. Запишем их все
вместе и зафиксируем значение величины, которое требуется найти. (Фигурная
скобка обозначает, что все уравнения должны выполняться одновременно.)
х + у = 9, х e N, у e N ;
х = За + 1, a e N0;
у = 3b + 2, b e N q.

{

рз

★

У- 1= ?

Заметим, что в ходе построения математической модели мы выделили три важных
шага, не зафиксированные в алгоритме, который использовался нами ранее:
✓ мы определили множество значений, которые могут принимать неизвестные
величины;
рз проверили, что каждый элемент условия задачи описан соответствующим
уравнением;
★ зафиксировали искомую величину.
Каждый из этих новых выделенных шагов непосредственно влияет на правиль­
ность построения модели и правильность ответа, поэтому необходимо дополнить
этими шагами построенный ранее алгоритм.
II. Работа с математической моделью.
После того как модель построена, можно в первое уравнение вместо х и у под­
ставить соответствующие им выражения и выполнить несложные преобразования
полученного уравнения, помня, что х , у e N , а, b еЛГ0:
(За + 1) + (ЗЬ + 2) = 9 о 3(а +